MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

O ELETROMAGNETISMO QUÂNTICO TENSORIAL DE ANCELMO L. GRACELI

MECÂNICA QUÂNTICA ENTRÓPICA GENERALIZADA OSCILATÓRIA INDETERMINISTA DE ANCELMO L. GRACELI.

COM TENSOR ENTRÓPICO DE GRACELI, E OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

[

G

G_{\mu \nu }\

E = ENERGIA

lEGG] = ELETROMAGNETISMO GERAL DE ANCELMO L. GRACELI] QUÂNTICO TENSORIAL DIMENSIONAL ENTRÓPICO GENERALIZADO.

COM TENSOR E OPERADOR DE ANCELMO L. GRACELI

[ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ ].

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] = tensor eletromagnético.

Em física quântica , a regra de ouro de Fermi é uma fórmula que descreve a taxa de transição (a probabilidade de uma transição por unidade de tempo) de um autoestado de energia de um sistema quântico para um grupo de autoestados de energia em um contínuo, como resultado de uma perturbação fraca . Essa taxa de transição é efetivamente independente do tempo (desde que a intensidade da perturbação seja independente do tempo) e é proporcional à intensidade do acoplamento entre os estados inicial e final do sistema (descrita pelo quadrado do elemento de matriz da perturbação), bem como à densidade de estados . Ela também é aplicável quando o estado final é discreto, ou seja, não faz parte de um contínuo, se houver alguma decoerência no processo, como relaxamento ou colisão de átomos, ou ruído na perturbação, caso em que a densidade de estados é substituída pelo inverso da largura de banda de decoerência.

Contexto histórico

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Embora a regra seja nomeada em homenagem a Enrico Fermi , o primeiro a obter a fórmula foi Paul Dirac , ^[ 1 ] pois ele havia formulado vinte anos antes uma equação virtualmente idêntica, incluindo os três componentes de uma constante, o elemento de matriz da perturbação e uma diferença de energia. ^[ 2 ] Ela recebeu esse nome porque, devido à sua importância, Fermi a chamou de "regra de ouro nº 2". ^[ 3 ]

A maioria dos usos do termo regra de ouro de Fermi se refere à "regra de ouro nº 2", mas a "regra de ouro nº 1" de Fermi tem uma forma semelhante e considera a probabilidade de transições indiretas por unidade de tempo. ^[ 4 ]

A taxa e sua derivação

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A regra de ouro de Fermi descreve um sistema que começa em um autoestado. $|i\rangle$ de um Hamiltoniano não perturbado $H₀$ e considera o efeito de um Hamiltoniano perturbador $H'$ $aplicado$ ao sistema. Se $H'$ for independente do tempo, o sistema transita apenas para os estados do contínuo que possuem a mesma energia que o estado inicial. Se $H'$ oscilar sinusoidalmente em função do tempo (ou seja, for uma perturbação harmônica) com uma frequência angular $ω$ , a transição ocorre para estados com energias que diferem em $ħω$ da energia do estado inicial.

Em ambos os casos, a probabilidade de transição por unidade de tempo a partir do estado inicial. $|i\rangle$ para um conjunto de estados finais $|f\rangle$ é essencialmente constante. É dado, em primeira aproximação, por $\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),$ onde $\langle f|H'|i\rangle$ é o elemento de matriz (na notação bra-ket ) da perturbação $H'$ entre os estados final e inicial, e $\rho (E_{f})$ é a densidade de estados (número de estados do contínuo dividido por $d E$ no intervalo de energia infinitesimalmente pequeno $E$ para $E+dE$ ) na energia $E_{f}$ dos estados finais. Essa probabilidade de transição também é chamada de "probabilidade de decaimento" e está relacionada ao inverso da vida média . Assim, a probabilidade de encontrar o sistema no estado $|i\rangle$ é proporcional a $e^{-\Gamma _{i\to f}t}$ .

A maneira padrão de derivar a equação é começar com a teoria de perturbação dependente do tempo e tomar o limite para absorção sob a suposição de que o tempo da medição é muito maior do que o tempo necessário para a transição. ^[ 5 ]^[ 6 ]

Derivação na teoria de perturbação dependente do tempo

Apenas a magnitude do elemento da matriz $\langle f|H'|i\rangle$ entra na regra de ouro de Fermi. A fase deste elemento de matriz, no entanto, contém informações separadas sobre o processo de transição. Ela aparece em expressões que complementam a regra de ouro na abordagem da equação de Boltzmann semiclássica para o transporte de elétrons . ^[ 9 ]

Embora a regra de ouro seja comumente enunciada e derivada nos termos acima, a função de onda do estado final (contínuo) é frequentemente descrita de forma bastante vaga e não normalizada corretamente (e a normalização é usada na derivação). O problema é que, para produzir um contínuo, não pode haver confinamento espacial (o que necessariamente discretizaria o espectro) e, portanto, as funções de onda do contínuo devem ter extensão infinita, o que, por sua vez, significa que a normalização ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ é infinito, não unitário. Se as interações dependem da energia do estado contínuo, mas não de outros números quânticos , é usual normalizar as funções de onda do contínuo com a energia. $\varepsilon$ rotulado $|\varepsilon \rangle$ , escrevendo $\langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')$ onde $\delta$ é a função delta de Dirac , e efetivamente um fator da raiz quadrada da densidade de estados está incluído em $|\varepsilon _{i}\rangle$ . ^[ 10 ] Neste caso, a função de onda contínua tem dimensões de ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$ E a regra de ouro agora é $\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [

\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),

[ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [

\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.

\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),

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